Tìm m để hàm số đồng biến, nghịch biến trên đoạn có độ dài l là một bài toán hay trong chương trình toán 12 . Bài toán ứng dụng phương pháp tìm m để thỏa kinh niên đơn điệu của hàm số song song vận dụng định lý VIET, một tri thức quan yếu khi tìm hiểu về hàm số. Vậy phương pháp giải bài toán này như thế nào? Có những biến thể nào của bài toán? Chúng ta cùng tìm hiểu chuẩn y bài viết ngay sau đây.
Phương pháp giải bài toán
Bài toán: Tìm m để hàm số y = ax 3 + bx 2 + x + d có độ dài khoảng đồng biến (nghịch biến) = l.
- Bước 1: Tính y’ = f’(x).
-
Bước 2: Tìm điều kiện để hàm số có khoảng đồng biến và nghịch biến:
(1)
- Bước 3: Biến đổi x 1 – x 2 = l thành (x 1 – x 2 ) 2 – 4x 1 ․x 2 = l 2 (2) .
- Bước 4: dùng định lý Vi-ét đưa (2) thành phương trình theo m.
- Bước 5: Giải phương trình, so với điều kiện (1) để chọn nghiệm.
(1)
ứng dụng định lý Vi-ét: Nếu x
1
, x
2
là hai nghiệm của phương trình ax
2
+ bx + c = 0 (a ≠ 0) thì:
Bài tập mẫu
Ví dụ 1: Tìm m để hàm số đồng biến trên đoạn có độ dài nhỏ hơn 1
1) Tìm m để hàm số H3 đồng biến trên (1; +∞).
2) Tìm m để hàm số y = -x 3 + 3x 2 + (m – 1) x + 2m – 3 đồng biến trên một khoảng có độ dài nhỏ hơn 1.
Lời giải.
1)
TXÐ: D = ℝ
Ta có: y’ = x 2 – 2mx + 1 – 2m
Hàm số cho đồng biến trên (1; +∞) ⇔ y’ ≥ 0
⇔ x 2 – 2mx + 1 – 2m ≥ 0 ⇔ x 2 + 1 ≥ 2m (x + 1)
⇔
(do x + 1 > 0 khi x > 1)
Xét hàm số
, x ∊ (1; +∞)
, ∀ x ∊ (1; +∞)
Suy ra f(x) ≥ 2m, ∀ x ∊ (1; +∞)
⇔ f(1) ≥ 2m
⇔ 1 ≥ 2m ⇔ m ≤ ½
2) y = -x 3 + 3x 2 + (m – 1) x + 2m – 3
TXÐ: D=R
Ta có: y’ = -3x 2 + 6x + m–1, ∆’ = 3m +6
Nếu m ≤ -2 ⇒ ∆’ ≤ 0 ⇒ y’ ≥ 0 ∀ x ∊ ℝ
⇒ Hàm số nghịch biến trên ℝ nên hàm số không có khoảng đồng biến.
Nếu m > -2 ⇒ y’ = 0 có hai nghiệm x 1 < x 2 , và y’ ≤ 0 ⇔ x ∊ [x 1 ;x 2 ]
⇒ đề nghị bài toán ⇔ x 1 – x 2 < 1 ⇔ (x 1 + x 2 ) 2 – 4x 1 ․x 2 < 1
Vậy
là những giá trị cần tìm.
Ví dụ 2. Tìm m để hàm số y = x 3 + 3x 2 + mx + m nghịch biến trên đoạn có độ dài đúng bằng 2
A. m = 0
B. m < 3
C. m = 2
D. m > 3
Đáp án: A
Đạo hàm: y’ = 3x 2 + 6x + m.
Xét phương trình y’ = 0 hay 3x 2 + 6x + m = 0 (*)
Để hàm số nghịch biển trên đoạn có độ dài bằng 2 thì phương trình (*) có 2 nghiệm x 1 , x 2 và x 1 – x 2 = 2
Theo hệ thức Vi-ét ta có
Giải x 1 – x 2 = 2 ⇔ (x 1 – x 2 ) 2 = 4
⇔ (x
1
+ x
2
)
2
– 4x
1
․x
2
= 4
⇔ m = 0
Vậy m = 0
Ví dụ 3. Tìm quờ quạng các giá trị thực m để f(x) = -x 3 + 3x 2 + (m – 1) x + 2m – 3 đồng biến trên một khoảng có độ dài lớn hơn 1.
A. m ≥ 0
B. m ≤ 0
C.
D.
Đáp án: D
Ta có đạo hàm y’ = -3x 2 + 6x + m – 1.
Hàm số đồng biển trên một khoảng có độ dài lớn hơn 1 khi và chỉ khi phương trình y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt x 1 < x 2 , thỏa mãn x 1 – x 2 = 1.
Theo Vi-ét ta có
Để x 1 – x 2 > 1 ⇔ (x 1 – x 2 ) 2 > 1 ⇔ (x 1 + x 2 ) 2 – 4x 1 ․x 2 > 1
⇔ 4m + 5 > 0 hay
Kết hợp với điều kiện ta được:
tỉ dụ 4. Tìm m để hàm số y = 2x 3 + 3(m – 1) x 2 + 6(m – 2) x + 3 nghịch biển trên một khoảng có độ dài lớn hơn 3.
A. m > 6
B. 0 < m < 6
C. m < 0
D. m < 0 hoặc m > 6
Đáp án: D
Tập xác định D = ℝ.
Ta có đạo hàm y’ = 6x 2 + 6(m – 1) x + 6(m – 2)
Xét phương trình y’ = 0 hay 6x
2
+ 6(m – 1) x + 6(m – 2) = 0
Hàm số nghịch biển trên một khoảng có độ dài lớn hơn 3 khi phương trình y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt x 1 , x 2 sao chox 1 – x 2 > 3 (1)
Tương đương với:
BÀI HỌC can hệ
- Tính đơn điệu của hàm số
- Hàm số đồng biến nghịch biến
- Tìm m để hàm số đồng biến, nghịch biến trên khoảng
- Tìm m để hàm số đồng biến, nghịch biến trên R
- Tìm số giá trị nguyên của m để hàm số đồng biến trên khoảng
No comments:
Post a Comment